對(duì)于“算”一詞給精確的定不是一件易事，有些意義相的同義語(yǔ)就是一些他的名詞它們（有）會(huì)給出不多同樣東西，例 "法則"" 技巧”“程序”有“方法等等都是種同義語(yǔ)也可以給一些例子如長(zhǎng)乘法就是小學(xué)學(xué)的把兩正整數(shù)相的豎式乘。然而，然非形式解釋和恰的例子對(duì)什么是算給出了很的感覺，算法一詞所深藏的想?yún)s經(jīng)歷一個(gè)很長(zhǎng)演化歷程直得到 20 世紀(jì)才得到了令滿意的形定義，而于算法的念，直到今還在演。算盤家算法家回關(guān)于乘法例子，有點(diǎn)是顯然：怎樣把個(gè)數(shù)相乘表示這些的方法極地影響了法的具體法。為了明白這點(diǎn)試著把兩羅馬數(shù)字 CXLVII 和 XXIX 相乘，但不先把它們成等價(jià)的進(jìn)數(shù)字 147 和 29。這件事既難弄白，明白以后進(jìn)行算也極其時(shí)間，而就可以解何以留存今的羅馬國(guó)關(guān)于乘的材料極零散。記制可以是 " 累加的 "，如羅馬記數(shù)法C 表示 100。X 表示 10。L 表示 50，但是 X 放在 L 左方表示從 L 中減去 X，所以就是 40，V 表示 5，I 表示 1，兩個(gè) I 放在 V 的右方，表示要它們加到 V 上，所以是 7。把所有以的解釋“加”起來(lái)就是羅馬學(xué)的 147。記數(shù)制度也可以進(jìn)位的，我們今天用的那樣如果是進(jìn)的，可以用一個(gè)或個(gè)基底。很長(zhǎng)的時(shí)中，進(jìn)行算可以使一種計(jì)算具 "算盤（abacus）"。這些計(jì)算具可以表一定基底的進(jìn)位制數(shù)。例如如果以 10 為基底、則一個(gè)記物可以表 1 個(gè)單位、或 10?；蛘?100 等等，視它是放在一橫行或列而定。照精確的則移動(dòng)這標(biāo)記物，可以進(jìn)行術(shù)四則運(yùn)。中國(guó)的盤就是 abacus 的一種。到 12 世紀(jì)，阿伯?dāng)?shù)學(xué)著被翻譯為丁文以后十進(jìn)制就歐洲流行來(lái)了。這進(jìn)位制特適合于算運(yùn)算，并引導(dǎo)到許新的計(jì)算法。這些法就通稱算法（algoritmus），而與在算上用標(biāo)記進(jìn)行計(jì)算區(qū)別。雖數(shù)字符號(hào)就是數(shù)碼來(lái)自印度的實(shí)踐，后來(lái)才為拉伯人所，現(xiàn)在這數(shù)碼卻叫阿拉伯?dāng)?shù)．算法（algorithm）的字源卻是拉伯文，是阿拉伯學(xué)家阿爾花拉子米名字的變?；ɡ?是現(xiàn)在已的最古老數(shù)學(xué)書的者，這一作名為 《通過補(bǔ)全還原做計(jì)的綱要》al-Kitab al-mukhtasar f hisib al-jabr wod ll-mugi balo），其中的 al-jabr 后來(lái)就變成了代數(shù)”（algebra）一詞。有限性我已經(jīng)看到算法”一在中世紀(jì)指以整數(shù)十進(jìn)制表為基礎(chǔ)的算程序。是到了 17 世紀(jì)，在達(dá)朗貝主編的《科全書》，算法一被賦予了廣泛的意，不只用算術(shù)，還于關(guān)于代方法以及他的計(jì)算序，諸如 "積分學(xué)的算法"" 正弦的算 " 等等。算法這詞又逐漸被用來(lái)表任意的具精確規(guī)則系統(tǒng)的計(jì)程序。最，隨著計(jì)機(jī)的作用來(lái)越大，限性的重性被充分識(shí)到了，本質(zhì)的要是，這個(gè)程在有限間以后就停止，而出結(jié)果。以就得到下面的樸的定義：個(gè)算法就有限多個(gè)則的集合用以對(duì)數(shù)有限的數(shù)進(jìn)行操作而在有限步以后產(chǎn)結(jié)果。注，在這里直強(qiáng)調(diào)有性，在寫算法時(shí)的限性，以在執(zhí)行算時(shí)的有限。上面的述算不上在經(jīng)典意下的數(shù)學(xué)義。我們會(huì)看到，它進(jìn)一步式化是重的。但是們現(xiàn)在暫也就滿足這個(gè) "定義" 了，而且來(lái)看下數(shù)學(xué)中算法的一經(jīng)典例子三個(gè)歷史的例子算具有一種們尚未提的特性：代，也就簡(jiǎn)單程序反復(fù)執(zhí)行為了看清代的重要，我們?cè)?次來(lái)看一長(zhǎng)乘法這例子，這一個(gè)對(duì)任大小的正數(shù)都適用方法。數(shù)變得越大程序也就長(zhǎng)。但是關(guān)緊要的，方法是同樣的”如果會(huì)把個(gè)三位數(shù)乘，也就把兩個(gè) 137 位的數(shù)字相乘而不必再學(xué)什么新原理，理在于長(zhǎng)乘的方法里包含了大的仔細(xì)構(gòu)好的小得的任務(wù)的復(fù)執(zhí)行，如把兩個(gè)位數(shù)相乘九九表。們將會(huì)看，迭代在們所要討的算法中了重要作。歐幾里算法：迭歐幾里得法是說(shuō)明法本質(zhì)的好也是最用的例子這個(gè)算法以追溯到元前 3 世紀(jì)。歐里得用它計(jì)算兩個(gè)整數(shù)的最公約數(shù)（gcd）。當(dāng)我們最開遇到兩個(gè)整數(shù) a 和 b 的最大公約時(shí)，它是義為一個(gè)整數(shù)，而同為 a 和 b 的因數(shù)。然，為了很目的，定它為具有下兩個(gè)性的唯一的數(shù) d 更好。這兩性質(zhì)就是首先，d 是 a 和 b 的一個(gè)因數(shù)；次，如果 c 是 a 和 b 的另一個(gè)數(shù)，則 d 可以被 c 所整除。歐幾里的《幾何本》卷 VII 的前兩個(gè)命題出了求 d 的方法，其中第一命題如下"給定了兩個(gè)不相等數(shù)、從較的一數(shù)不地減去較的一數(shù)，果余下的位，都不量度前數(shù)直到余下數(shù)為一單為止，這，原來(lái)的為互質(zhì)。" 換句話說(shuō)，如果輾相減得到數(shù) 1，則 gcd 為 1。這時(shí)，就說(shuō)來(lái)的兩個(gè)互質(zhì)（或為素?cái)?shù)）輾轉(zhuǎn)相減現(xiàn)在我們一般地描歐幾里得法，它是于以下兩觀察的：1）如果 a=b，則 a 和 b 的 gcd 就是 b（或 a）。（2）d 是 a 和 b 的公約數(shù)，當(dāng)且僅它也是 a-b 和 b 的公約數(shù)。現(xiàn)在要求 a 和 b 的 gcd，而且設(shè) a≥b。如果 a=b，則觀察（1）告訴我，gcd 就是 b。若不然，察（2）告訴我們，果求 a-b 和 b 的 gcd 也會(huì)得到同樣的案。現(xiàn)在 a_1 是 a-b 和 b 中較大的個(gè)，而 b_1 則為其中較小一個(gè)，然再求兩數(shù) gcd。不過，現(xiàn)兩數(shù)中較的一個(gè)， a_1，小于原來(lái)數(shù)中較大一個(gè)，即 a。這樣我們就可以上面的程再重復(fù)一：若 a_1=b_1，則 a_1 和 b_1 的 gcd，亦即 a 和 b 的 gcd 是 b_1，若不然，把 a_1 換成 a_1-b_1，再來(lái)組織 a_1-b_1 和 b_1，總之，大的一個(gè)放在前面然后再繼下去，這叫做 " 輾轉(zhuǎn)相減 "。為了使這個(gè)程序夠進(jìn)行下，還有一觀察是需的，這就下面的關(guān)正整數(shù)的個(gè)基本事，有時(shí)稱良序原理嚴(yán)格下降正整數(shù)序 a_0 > a1 > a2 >… 必為有限序列因?yàn)樯厦?迭代程序好產(chǎn)生了個(gè)嚴(yán)格下序列，這迭代最終定會(huì)停止這就意味在某一點(diǎn)必有 a_k=b_k，而這個(gè)共值就是 a 和 b 的 gcd。歐幾里得算法的程圖歐幾得除法通對(duì)于歐幾得算法的述與此稍不同?？?應(yīng)用一種復(fù)雜的程，稱為歐里得除法也就是帶除法），可以大大少算法的數(shù)，這種法也稱為轉(zhuǎn)相除法這個(gè)程序基本事實(shí)：若 a 和 b 是兩個(gè)正整，則必存唯一的整 q 和 r，使得數(shù) q 稱為商，而 r 稱為余數(shù)。上面的點(diǎn)說(shuō)明（1）和（2）現(xiàn)在要代若 r=0，則 a 和 b 的 gcd 就是 b。a 和 b 的 gcd 與 b 和 r 的 gcd 是相同的。這一次在第一步用（b，r）代替（a，b）。如果 r≠0，則還要第二步，用（r，r_1）來(lái)代替（b，r），r1 是用 r 去除 b 所得的余，所以 r_1r>m>r1>r2≥0）。再用一次良原理，即這個(gè)程序過有限步一定停止而最后一非零的余就是 a 和 b 的 gcd。不難看到這兩種方，就求 gcd 而言是等價(jià)的但就算法言則有很區(qū)別。例，設(shè) a=103 438，b=37。如果用輾轉(zhuǎn)相法，就要 103 438 中累次減去 37，一直到余下的數(shù)小于 37 為止。這個(gè)差數(shù) 103438 除以 37 的余數(shù)是一的，而如用第二種法，一次可以得到。這樣，用第二種法的理由在于用累減法來(lái)求法的余數(shù)非常低效的。效率的收益在踐上是很要的，第種方法給的是多項(xiàng)時(shí)間算法而第一種法所需的是指數(shù)長(zhǎng)時(shí)間。推歐幾里得法可以推到許多其背景下，要有加法減法和乘的概念就。例如它一個(gè)變體可以用于斯整數(shù)環(huán)就是形如 a＋ bi，而其中 a，b 為整數(shù)的復(fù)所成的環(huán)它也可以于系數(shù)為數(shù)的多項(xiàng)環(huán)中（就而論，系在任意域也行）。有一個(gè)要，就是要夠定義帶除法的類物，有了一點(diǎn)以后算法就與整數(shù)情況算法基本相同了。如下面的題：設(shè) A 和 B 是兩個(gè)任多項(xiàng)式，且 B 不是零多項(xiàng)、則必存兩個(gè)多項(xiàng) Q 和 R。使得或者 R=0，或者 R 的次數(shù)小于 B 的次數(shù)。正歐幾里得《幾何原》中提到那樣，也以對(duì)于一數(shù)（a，b）當(dāng) a 和 b 不一定是整時(shí)實(shí)行這程序。容驗(yàn)證，當(dāng)僅當(dāng)比 a / b 是有理數(shù)，這個(gè)程會(huì)停下來(lái)這個(gè)觀點(diǎn)導(dǎo)到連分的概念。 17 世紀(jì)以前，有特別地究過它，是其中的想根源可追溯到阿米德。阿米德計(jì)算 π 的方法：逼近和限性圓周和圓的直的比值是個(gè)常數(shù)，自從 18 世紀(jì)以來(lái)就記作 π?，F(xiàn)在我來(lái)看一看基米德怎在公元前 3 世紀(jì)就得到了這比值的經(jīng)的近似值 22/7。若在圓內(nèi)一個(gè)內(nèi)接正多邊形其頂點(diǎn)都圓周上）又作其外的正多邊（其邊都圓周的切），再計(jì)這些多邊的周長(zhǎng)，會(huì)得到 x 的下界與上界，因圓的周長(zhǎng)定大于任內(nèi)接多邊的周長(zhǎng)，小于任意切多邊形周長(zhǎng)。阿米德從正邊形開始然后，每把多邊形邊數(shù)加倍得到了越越精確的下界。他到九十六形為止，到了π 的逼近這個(gè)程中顯然及迭代。是稱它為個(gè)算法對(duì)對(duì)？嚴(yán)格說(shuō)，它不一個(gè)算法不論取多邊的多邊，所得到僅是 π 的近似值所以這個(gè)程不是有的。然而們確實(shí)得了一個(gè)可近似計(jì)算 π 到任意精確度的法。例如如果想得 π 的一個(gè)準(zhǔn)確到數(shù)十位的似值，經(jīng)有限多步后，這個(gè)法會(huì)給出個(gè)我們想的近似值重要的是這個(gè)過程收斂的。是說(shuō)，重的在于由代得出之可以任意接近于 π。這個(gè)方的幾何來(lái)可以用來(lái)明這個(gè)收性，而 1609 年德國(guó)人作了 202 邊形（基本上用阿米德的方），得到 π 的精確到小數(shù) 35 位的近似值。然，逼近 π 的算法與阿基米德算兩個(gè)正數(shù)的 gcd 的算法有一個(gè)明的區(qū)別。歐幾里得樣的算法常稱為離算法，而用來(lái)計(jì)算整數(shù)值的值算法相立。牛頓-拉夫森方：遞推公1670 年前后、頓提出了個(gè)求方程根的方法而且就方 x^3-2x-5=0 解釋了他的方法他的解釋下面的一觀察開始根 x 近似地等于 2。于是他寫出 x=2+p，并用 2＋p 代替原方程的 x，而得到了個(gè)關(guān)于 p 的方程。這個(gè)新方算出來(lái)是為 x 接近于 2，所以 p 很小，而就略去了 p^3 和 6p^2 來(lái)估計(jì) p。這就給了他 p 的方程 10p-1=0，即 p=1/10。這當(dāng)然是一個(gè)準(zhǔn)解，但是給了牛頓于根的新更好的近值：x=2.1。然后牛頓就重這個(gè)過程令 x=2.1＋q，代入原方以后又給了一個(gè)關(guān) q 的方程，近似解這個(gè)方，又把他近似解精化了，于得到 q 的估計(jì)為-0.0054，所以 x 的下一個(gè)近似值 2.0946。盡管如此，我怎么能確這個(gè)過程收斂于 x 呢？讓我們更仔細(xì)考察這個(gè)法。切線收斂性牛的方法可從幾何上函數(shù) f 的圖像來(lái)釋，雖然頓本人并有這樣做f（x）=0 的每一個(gè)根 x 都對(duì)應(yīng)于數(shù) y=f（x）的曲線和 x 軸的一個(gè)點(diǎn)。如果根 x 的一個(gè)近似 a 開始，而且和面做的一，設(shè) p=x- a，于是可以 a+p 代替 x 而得到一新的函數(shù) g（p），也就是說(shuō)原點(diǎn)（0，0）有效地移到了（a，0）處。然后把 p 的所有高次冪都略，只留下數(shù)項(xiàng)和線項(xiàng)，這樣得到了函 g 的最佳的線性近 —— 從幾何上，這就是 g 在點(diǎn)（0，g（0））處的線。這樣對(duì)于 p 所得到的似值就是數(shù) y 在點(diǎn)（0，g（0））處的切線與 x 軸的交點(diǎn)。再在坐標(biāo)上加個(gè) a，也就是讓原回到原來(lái)（0，0）處，這樣 a＋p 就給出了 f 的根的新近似值。就是牛頓方法稱為線法的原。牛頓方從上圖可看到，再一次切線逼近，如曲線 y=f（x）與 x 軸的交點(diǎn)在 a 點(diǎn)以及 f 在點(diǎn)（a，f（a））處的線與 x 軸的交點(diǎn)即上圖中橫坐標(biāo)為 a+p 的點(diǎn)，即根近似值）間，則第次的近似（即 a＋p＋q）肯定比第一的近似值 a＋p 好（這里稱 a 為根的零次近似。回到牛的例子，以看到牛選取 a=2 并不是上面所說(shuō)情況。但從下一個(gè)似值 2.1 開始，以下所有近似值就是這個(gè)情了。從幾上看，如點(diǎn)（a，f（a））位于 x 軸的上方，且 y=f（x）的曲線在凸部 x 軸相交，或者（a，f（a））在 x 軸的下方，而且 y=f（x）曲線在部與 x 軸相交，會(huì)出現(xiàn)這有利的情。初始的近（即零近似）的擇顯然是重要的，且提出了妙的未曾到的問題如果我們慮復(fù)多項(xiàng)的復(fù)根，就更加清了。牛頓方法很容適應(yīng)這個(gè)廣泛的背。設(shè) z 是一個(gè)復(fù)項(xiàng)式的復(fù)，而 z_0 是初始的逼近，是牛頓方將給出一序列 z_0，z_1，z_2…… 它可能收斂于 z，也可能收斂。我定義根 z 的吸引區(qū)域?yàn)檫@樣初始逼近 z_0 的集合，使所得到的列確實(shí)收于 z，并且記這個(gè)域?yàn)?A（z）。怎樣來(lái)決定 A（z）呢？第一個(gè)問個(gè)問題的是凱萊，間是 1879 年。他注意到對(duì)于二次項(xiàng)式，這問題是很易的，但次數(shù)為 3 或者更大時(shí)，問題很困難了例如多項(xiàng) z^2-1 的根 ±1 的吸引區(qū)域分是復(fù)平面以鉛直軸界的兩個(gè)平面，但 z^3-1 的三個(gè)根 1，w，w^2 的相應(yīng)的引區(qū)域就極復(fù)雜的合。這些合是由儒亞在 1918 年描述的，而在稱為分集合。遞公式牛頓法的每一段都會(huì)產(chǎn)一個(gè)新方。但是拉森指出實(shí)上并無(wú)必。他就特的例子給在每一步可以使用單一一個(gè)式。但是的基本的察可以一地適用，出可以用每一個(gè)情的一般公，而這個(gè)式用切線解釋就可容易得出事實(shí)上，線 y=f（x）在 x 坐標(biāo)為 a 處的切線方程它與 x 軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)是 a-f（a）/f'（a）。我們現(xiàn)在所說(shuō)牛頓-拉夫森方法就指的這個(gè)式。我們一個(gè)初始近 a_0=a 開始再用這個(gè)推公式得這樣就得一個(gè)逼近序列，在情況下，就是前面的 z_0，z_1，z_2，…。作為一例子，考函數(shù) f（x）=x^2-c。這時(shí)，牛頓法就給出 c 的平方根根號(hào) c 的一串近似值，遞公式現(xiàn)在了在上面一般公式把 f 換成 x^2-c 即得。這個(gè)近平方根的法，公元 1 世紀(jì)的亞歷山大亞的海倫已經(jīng)知道本文來(lái)自信公眾號(hào)老胡說(shuō)科 （ID：LaohuSci），作者：我是老?